在平面直角坐标系中， O是坐标原点，直角梯形 AOCD的顶点 A的坐标为 （0， ），点 D的坐标为（1， ），点 C在 轴的正半轴上，过点 O且以点 D为顶点的抛物线经过点 C，点 P为 CD的中点． （1）求抛物线的解析式及点 P的坐标； （2） 在 轴右侧的抛物线上是否存在点 Q，使以 Q为圆心的圆同时与 轴、直线 OP相切．若存在，请求出满足条件的点 Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点 M为线段 OP上一动点（不与 O点重合），过点 O、 M、 D的圆与 轴的正半轴交于点 N．求证： OM+ ON为定值． （4）在 轴上找一点H，使∠PHD最大．试求出点H的坐标．